已知函数f（x）=x-ln（x+a）．（a是常数）

解题思路：（I）①求f′（x）②解不等式f′（x）＞0得单增区间③f′（x）＜0得单调递减区间（II）①f'（1）=0，得a=0 f（x）=x-lnx，②f（x）+2x=x2+b，即x-lnx+2x=x2+b，∴x2-3x+lnx+b=0，③【0.5，2]上有两根则f（x）两次穿过x轴：g（0.5）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0可解b范围（III）由（I）和（II）可知a=0，x∈[0.5，+∞） f（x）≥f（1），即lnx≤x-1∴x＞1时，lnx＜x-1令x=1+1n2得ln（1+1n2）＜1n2，∴n≥2，加以变形便有所求证明

（Ⅰ）由已知由函数f（x）的定义域为x＞-a，f′(x)＝1−
1
x+a＝
x+a−1
x+a，
∵-a＜-a+1，
∴由f'（x）＞0，得x＞-a+1，
由f'（x）＜0，得-a＜x＜-a+1，
所以函数f（x）的减区间为（-a，-a+1），增区间为（-a+1，+∞）．（4分）

（II）由题意，得f'（1）=0，
∴a=0．（5分）
∴由（Ⅰ）知f（x）=x-lnx，
∴f（x）+2x=x²+b，即x-lnx+2x=x²+b，
∴x²-3x+lnx+b=0，
设g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），
则g'（x）=2x-3+[1/x＝
2x2−3x+1
x＝
(2x−1)(x−1)
x]
当x∈[
1
2，2]变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：（6分）
∵方程f（x）+2x=x²+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，
∴

g(
1
2)≥0
g(1)＜0
g(2)≥0，∴

b−
5
4−ln2≥0
b−2＜0
g(2)≥0，
∴[5/4]+ln2≤b＜2，即b∈[
5
4ln2，2)．（8分）

（III）由（I）和（II）可知当a＝0，x∈[
1
2，+∞)时，f（x）≥f（1），
即lnx≤x-1，
∴当x＞1时，lnx＜x-1．（10分）
令x＝1+
1
n2（n≥2，n∈N^*），
则ln(1+
1
n2)＜
1
n2．
所以当n≥2，n∈N^*时，
ln(1+
1
22)+ln(1+
1
32)+…+ln(1+
1
n2)＜
1
22+
1
32++
1
n2＜
1
1×2+
1
2×3++
1
n×(n−1)＝1−
1
n＜1，
即ln(1+
1
22)(1+
1
32)(1+
1
n2)＜1，
∴(1+
1
22)(1+
1
32)(1+
1
n2)＜e．（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用；函数在某点取得极值的条件；不等式的证明．

考点点评： 本题考查导数应用求函数单调区间