已知abcd都是实数,且a²+b²=r²,c²+d²=R²,

证法一(综合法)：
∵a、b、c、d都是实数,
∴｜ac＋bd｜≤｜ac｜＋｜bd｜≤(a^2+c^2)/2+(b^2+d^2)/2=(a^2+c^2+b^2+d^2)/2
∵a^2＋b^2＝r^2,c^2＋d^2＝R^2,
∴｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2 .
证法二(比较法)：
显然｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2
-(r^2＋R^2)/2≤ac＋bd≤ (r^2＋R^2)/2
先证ac＋bd≤ (r^2＋R^2)/2.
ac＋bd－ (r^2＋R^2)/2
＝ac＋bd－(a^2+c^2+b^2+d^2)/2)
＝－〔(a－c)^2＋(b－d)^2〕/2≤0
∴ac＋bd≤ (r2＋R2)/2.
再证ac＋bd≥－ (r^2＋R^2)/2.
ac＋bd＋ (r^2＋R^2)/2
＝ac＋bd+ (a^2＋b^2＋c^2＋d^2)/2
＝ [(a＋c)^2＋(b＋d)^2]/2≥0,
∴ac＋bd≥－(r^2＋R^2)/2
综上述｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2

(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd) 2=(bc-ad) 2≥0
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd) 2
|ac+bd|≤√R²r²=Rr≤（r2+R2）/2

a2+b2=r2，c2+d2=R2，
相加，
a^2+b^2+c^2+d^2=r^2+R^2
而
a^2+b^2>=2|ab|
c^2+d^2>=2|cd|
则
a^2+b^2+c^2+d^2>|2ab+2cd|
则
r^2+R^2>2|(ab+cd)|
即：|ac+bd|≤（r2+R2）/2

如下：
因为0≤(a-b)^2，所以2|ab|≤a^2+b^2 (这个简单，自已解开移一下项就行了)
因此
2|ac|≤a^2+c^2
2|bd|≤b^2+d^2
两式相加就得到
2(|ac|+|bd|)≤a^2+b^2+c^2+d^2=(r^2+R^2)
所以|ac+bd|≤（r2+R2）/2