（2013•闸北区三模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A（a，4）为抛物线C上的定点，点P为抛物线C

解题思路：（1）由题意得出圆心的纵坐标为[p/4]，由圆心到准线的距离等于[3/2]，求出p的值，则抛物线方程可求；
（2）S_PMFN=2S_△PMF=2[1/2]|PM||MF|=[1/2]|PM|，即可求四边形PMFN面积的最小值及此时P点坐标．
（3）根据题意：∠TPF为锐角⇒

PT

•

PF

＞0且t≠[p/2]，利用向量的数量积公式，可得

PT

•

PF

=y₀²-（t-3）y₀+t，记：f（y₀）=y₀²-（t-3）y₀+t在y₀∈[0，+∞）上恒成立，分类讨论，即可求实数t的取值范围．

（1）△FOA的外接圆的圆心在线段OF的中垂线y＝
p
4上，则圆心的纵坐标为[p/4]
故到准线的距离为[p/2+
p
4＝
3
2]
从而p=2…（2分）
即抛物线C的方程为：x²=4y．…（4分）
（2）设P（x₀，y₀），则
∵圆心坐标（0，1）是抛物线C的焦点F
∴|PF|=y₀+1…（6分）
SPMFN＝2S△PMF＝2•
1
2•|PM|•|MF|＝
1
2|PM|＝
1
2
|PF|2−
1
4=
1
2
(y0+1)2−
1
4(y0≥0)…（8分）
∴当y₀=0时，四边形PMFN面积的最小值为

3
4，此时点P（0，0）．…（10分）
（3）（理）根据题意：∠TPF为锐角⇒

PT•

PF＞0且t≠[p/2]
∵

PT=（-x₀，t-y₀），

PF=（-x₀，1-y₀），
∴

PT•

PF=y₀²-（t-3）y₀+t…（11分）
记：f（y₀）=y₀²-（t-3）y₀+t在y₀∈[0，+∞）上恒成立
又f（y₀）=（y₀-[t−3/2]）²-
t2−10t+9
4．
当[t−3/2]≥0时，即：t∈[3，+∞）
当y₀=[t−3/2]时，f（y₀）_min=-
t2−10t+9
4＞0解得：1＜t＜9，
∴t∈[3，9]；
当[t−3/2]＜0时，即：t∈（-∞，3）当y₀=0时，f（y₀）_min=t＞0，
∴t∈（0，3）…（15分）
综合得：t∈（0，1）∪（1，9）（16分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．

考点点评： 本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了方程思想和函数思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．