（2009•红桥区二模）已知函数f（x）=4x2−72−x，g（x）=x3-3a2x-2a

解题思路：（Ⅰ）利用导数判断f（x）的单调性，由单调性可求得最小值，比较端点处函数值可得最大值；
（Ⅱ）g′（x）=3x²-3a²，分情况讨论：当a=0时易判断；当a≠0时，g′（0）=-3a²＜0，只需g′（1）≥0，解此不等式即可；
（Ⅲ）问题等价于f（x）的值域为g（x）的值域的子集，利用导数可分别求得两函数的值域，根据集合包含关系可得不等式组，解出即可；

（Ⅰ）f′（x）=
−4x2+16x−7
(2−x)2，
令f′（x）＞0，得[1/2＜x＜
7
2]，所以f（x）在[[1/2]，1]上单调递增；令f′（x）＜0，得x＜[1/2]或x＞[7/2]，
所以f（x）在[0，[1/2]]上单调递减；
所以f(x)min＝f(
1
2)=-4，又f（0）=-[7/2]，f（1）=-3，所以f（x）_max=-3；
（Ⅱ）g′（x）=3x²-3a²，
①当a=0时，g′（x）=3x²，显然g′（x）在区间[0，1]上存在零点0；
②当a≠0时，g′（0）=-3a²＜0，只需g′（1）≥0，即3-3a²≥0，解得-1≤a≤1，且a≠0；
综上，实数a的取值范围为-1≤a≤1；
（Ⅲ）g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），
令g′（x）=0，解得x=a或-a，
当a≥1时，x∈[0，1]，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在[0，1]上为减函数；
所以g（x）∈[1-3a²-2a，-2a]，
由（Ⅰ）知f（x）∈[-4，-3]，
因为对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]满足g（x₀）=f（x₁），
所以

1−3a2−2a≤−4
−2a≥−3，解得1≤a≤
3
2，
故实数a的取值范围为1≤a≤
3
2．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的最值、函数零点的判定定理，考查分类讨论思想转化思想，考查学生解决问题的能力．