设函数f(x)在[0,1]非负连续,f(1)=0,证明存在c属于（0,1）,使得f(c)=（积分0到c）f(t)dt

用积分中值定理,不过积分中值定理的使用条件是在闭区间,所以要稍微绕一下
首先是积分中值定理：若函数 f(x) 在 闭区间 [a,b]上连续,则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点 ξ,使下式成立：函数f(x)从a到b的定积分=(b-a)f(ξ)
本题中（b-a）恰好是1,接下来就是怎么去掉0和1这两个点了
f(1)=0,假如这c就是1,那么说明积分值等于0,又由于函数为非负函数,所以积分值必将大于等于零,所以c=1时函数在[0,1]上恒为0,那么随便取不是零不是一的数就可以了
接下来考察不恒为0的函数情况,那么这时c肯定不可能取1了,接下来证明怎么不取0或者除了0之外还可以取其它值：
1）假设f(0)=0,则同f(1)=0情况一样,c不等于0,则c必是(0,1)上一点
2）假设f(0)>0,用反证法：假设除了0以外没有(0,1)上的点满足,则函数在[0,1]上的最大值为f(0)（这里用介值定理证明,假设有比f(0)大的值,设为f(a),由于f(1)=0,根据介值定理,在（a,1）上必存在一点b使得f(b)=f(0).)
此函数最大值为f(0),所以积分值必小于等于f(0).但由于函数不是恒为常数,积分值不可能等于f(0),与假设矛盾.所以存在c属于(0,1),使得f(c)=（积分0到c）f(t)dt
证毕,没用很规范的数学语言,请见谅

运用拉格朗日中值定理来做