海森矩阵逆矩阵的计算公式

在数学中,海森矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下：


如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即：
其中 ,即
（也有人把海森定义为以上矩阵的行列式） 海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题.



逆矩阵求法
1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵.

　　逆矩阵的另外一种常用的求法：

　　(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)).

　　注意：初等变化只用行（列）运算,不能用列（行）运算.E为单位矩阵.

　　一般计算中,或者判断中还会遇到以下11种情况来判断逆矩阵：

　　1 秩等于行数

　　2 行列式不为0

　　3 行向量(或列向量)是线性无关组

　　4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵

　　5 作为线性方程组的系数有唯一解

　　6 满秩

　　7 可以经过初等行变换化为单位矩阵

　　8 伴随矩阵可逆
　　9 可以表示成初等矩阵的乘积

　　10 它的转置可逆

　　11 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变

编辑本段逆矩阵具有以下性质：　　1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0.

　　2 可逆矩阵一定是方阵.

　　3 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的.

　　4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵.

　　5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆.

　　6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆.

　　7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵.

编辑本段matlab中的求法：　　inv(a)或a^-1.
　　例如：

　　>> a =

　　8 4 9

　　2 3 5

　　7 6 1

　　>> a^-1

　　ans =

　　0.1636 -0.3030 0.0424

　　-0.2000 0.3333 0.1333

　　0.0545 0.1212 -0.0970

　　>> inv(a)

　　ans =

　　0.1636 -0.3030 0.0424

　　-0.2000 0.3333 0.1333

　　0.0545 0.1212 -0.0970

　　以下是对MATLAB中Inv用法的解释.

　　原文（来自matlab help doc）

　　In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of inv

　　arises when solving the system of linear equations Ax=B .

　　One way to solve this is with x = inv(A)*B.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = Ab.

　　实际上,很少需要矩阵逆的精确值.在解方程 Ax=B的时候可以使用x = inv(A)*B,

　　但通常我们求解这种形式的线性方程时,不必要求出A的逆矩阵,在MATLAB中精度更高,速度更快的方法是用左除——x = Ab.

　　另外,用LU分解法的速度更快,只是要多写一条LU分解语句.

　　速度可以通过matlab中tic和toc来估算运行的时间.