椭圆直线相交三角形面积已知直线y=2x+b与椭圆x^2/2+y^2/8=1相交与不同的两个A、B,定点P的坐标为（1,2

设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2).
第一步：求所截线段长度.
将y = 2x+b代入椭圆方程x²/2+y²/8=1中,化简,得 8x² + 4x +b²-8 =0
根据韦达定理,x1 + x2 = -4/(2×8) = -1/4,x1x2 = (b²-8)/8
∴(x1-x2)² = (x1 + x2)² - 4x1x2 = (-1/4)² - 4(b²-8)/8 = (65-8b²)/16 .①
根据两点间距离公式,线段AB长度为
d = √((x2 - x1)²+ (y2 - y1)²) .②
由于点A、B在直线y = 2x+b上,所以y1 = 2x1+b,y2 = 2x2+b
∴(y2 - y1)² = (2x2 - 2x1)² = 4(x2 - x1)²
结合式①、②,线段AB长度为
d = √(5(x2 - x1)²) = √(5·((65-8b²)/16))
第二步：求点P到直线AB距离
利用点到直线距离公式,先将直线AB方程写为一般式：2x-y+b =0
然后套公式,其距离h = |2·1-2+b|/√(2²+1²) = |b|/√5
第三步：求出△PAB面积,然后求最大值
△PAB面积 = 1/2 · d · h = 1/2 · √(5·((65-8b²)/16)) · |b|/√5 = 1/8·√((65-8b²)b²)
= (1/(8·2√2)) ·√((65-8b²)8b²)
利用均值不等式 √(ab) ≤ (a+b)/2,当且仅当a = b取等.
∴√((65-8b²)8b²) ≤ (65-8b²+8b²)/2 = 65/2,
当且仅当65-8b² = 8b²,即b = ±√(65/16) = ±√65 / 4时取等.
故△PAB面积 ≤ (1/(8·2√2)) · 65/2 = 65√2 / 64,
且当b = ±√65 / 4 时取最大值.