（2011•上海二模）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，过A1、C1、B三点的平面截去长

解题思路：（1）由已知中，图示的几何体ABCD-A₁C₁D₁是由过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁得到，故VABCD−A1C1D1＝VABCD−A1B1C1D1−VB−A1B1C1，将AB=BC=2，AA₁=4代入即可得到答案．
（2）解以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出直线BD₁的方向向量及平面A₁BC₁的法向量，代入直线与平面夹角的向量法公式，即可求出答案．

解（1）VABCD−A1C1D1＝VABCD−A1B1C1D1−VB−A1B1C1＝4A1A−
2
3A1A＝
40
3（5分）
（2）解以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示．
由题意：B（2，2，0），D₁（0，0，4），A₁（2，0，4），C₁（0，2，4），（7分）


BD1＝(−2，−2，4)，

A1B＝(0，2，−4)，

A1C1＝(−2，2，0)，
设面A₁BC₁的法向量是

n＝(u，v，w)，则

2v−4w＝0
−2u+2v＝0
取v=2得，

点评：
本题考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；组合几何体的面积、体积问题；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，组合几何体的体积，直线与平面所成的角，其中熟练掌握棱柱、棱锥的几何特征，准确分析出组合体的组成是解答本题的关键．