如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D为AB的中点,M,N分别为AC,BC上一点,且DM⊥DN,求证:CM

1、连接CD
∵CA=CB,∠ACB=90°
∴在等腰直角三角形ABC中
CD=AD=BD
∠BCD=∠A=45°即∠NCD=∠A=45°
CD⊥AB
∵DM⊥DN
∴∠CDA=∠CDM+∠ADM=90°
∠MDN=∠CDM+∠CDN=90°
∴∠ADM=∠CDN
∵CD=AD,∠NCD=∠A,∠ADM=∠CDN
∴△ADM≌△CDN(ASA)
∴CN=AM
∴CM+CN=CM+AM=AC
∵AC=√2/2 AB
AB=2BD
∴CM+CN=√2 BD
2、连接CD
∵CA=CB,∠ACB=90°
∴在等腰直角三角形ABC中
∠BCD=∠ABC=45°
CD=BD=AD=1/2AB
CD⊥AB
∵∠DBN=180°-∠ABC=180°-45°=135°
∠MCD=∠BCD+∠BCM=45°+90°=135°
∴∠MCD=∠NBD=135°
∵DM⊥DN,CD⊥AB
∴∠CDB=∠CDM+∠MDB=90°
∠MDN=∠MDB+∠BDN=90°
∴∠CDM=∠BDN
∴△CDM≌△BDN(ASA)
∴CM=BN
∵CN=BC+BN
∴CN-CM=BC
∵BC=√2/2AB=√2BD
∴CN-CM=√2BD
(或CM-CN=√2 BD)

Rt△ADC中，DB⊥AC.
DM=√2AD/2
同理：DN=√2DB2
∵DM=DN,AD=BD
∴DM+DN=√2·BD