长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=2,ad=4,aa1=4,,o为对角线ac1的中点

如图所示．
∵O为对角线AC1的中点，
∴O（1，2，2）．
以下分类讨论：
根据长方体的对称性和数量积的性质：取P点时只要取顶点和每个表面的中心即可．
①当点MN在上下两个面时．
取P（0，0，0），
设N（x，y，0），（0≤x≤2，0≤y≤4）．
则M（2-x，4-y，4）．
=x（2-x）+y（4-y）=-[（x-1）2+（y-2）2]+5，此时可得：的取值范围是[0，5]．取点P（1，0，2），=（1-x，4-y，-2），=（x-1，y，-2）
则=-（x-1）2+y（4-y）-4=-[（x-1）2+（y-2）2]，
由于0≤x≤2，0≤y≤4，∴-5≤•≤0．
此时可得：•的取值范围是[-5，0]．综上可得：•的取值范围是[-5，5]．②当点MN在左右两个面时，•的取值范围是[-5，5]．③当点MN分别上或下两个面、左或右时，的取值范围是[-8，8]．综上可得：•的取值范围是[-8，8]．