如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：

解题思路：（1）过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，从而证明AM平分∠DAB；
（2）利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3=90°，所以两直线垂直

（1）AM平分∠DAB．
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵MC=MB，
∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）DM⊥AM．
证明：∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1=[1/2]∠CDA，∠3=[1/2]∠DAB（角平分线定义）
∴2∠1+2∠3=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度．即DM⊥AM．

点评：
本题考点： 角平分线的性质．

考点点评： 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

以点M作DC的垂线交AD于N
因为角MND=角CDM
DM公共
角DNM=角DCM
三角形NDM全等于三角形CDM（AAS）
那么MN=MC=MB
又AM公共
角MNA=角MBA
所以三角形MNA全等于三角形MBA（HL）
所以角NAM=角BAM
所以平分

在AD边上作点E，使DE=DC，然后由边角边可以求得三角EDM与三角CDM全等，所以EM=CM。已知CM=MB，则EM=MB，且角DEM也为90度。直角，HL，则AEM和ABM全等，所以角EAM=角BAM，所以AM评分角DAB。

以点M作DC的垂线交AD于N
因为角MND=角CDM
DM公共
角DNM=角DCM
三角形NDM全等于三角形CDM（AAS）
那么MN=MC=MB
又AM公共
角MNA=角MBA
所以三角形MNA全等于三角形MBA（HL）
所以角NAM=角BAM
所以平分

延长AM交DC延长线于E点。
由边边角定理，知ADM和EDM全等。故角DAM等于角DEM，所以等于角BAM。