（2013•昌平区一模）已知函数f（x）=[1/3]x3-a2x+12a（a∈R）．

解题思路：（Ⅰ）a=1时写出f（x），求出f′（x），解方程f′（x）=0，列出当x变化时f′（x）、f（x）的变化表，由表格可得函数在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）_min＞0可得a的范围；

（I）当a=1时，f（x）=[1/3x3-x+
1
2]，f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表：

x 0 （0，1） 1 （1，2） 2
f′（x） -1 - 0 + 3
f（x） [1/2] ↘ -[1/6] ↗ [7/6]∴当x∈[0，2]时，f（x）最大值为f（2）=[7/6]．
（Ⅱ）f′（x）=x²-a²=（x-a）（x+a），令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=a，
①若a＜0，在（0，-a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（-a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=-a时取得最小值f（-a）=-[1/3a3+a3+
a
2]=a（[2/3a2+
1
2]），
因为a＜0，[2/3a2+
1
2]＞0，所以f（-a）=a（[2/3a2+
1
2]）＜0．
所以当a＜0时，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；
②若a=0，f′（x）=x²≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以当a=0时，有f（x）＞f（0）=0；
③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）=[1/3a3−a3+
a
2]=-a（[2/3a2−
1
2]），
令f（a）=-a（[2/3a2−
1
2]）＞0，由a＞0，得[2/3a2−
1
2]＜0，0＜a＜

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数恒成立，函数恒成立问题常转化为函数的最值解决，体现了转化思想．