函数在点x处具有n阶导数,则函数在x的某一邻域内一定具有一切低于n阶的导数.

xssm 1年前 已收到1个回答 举报
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黄岑听雨 幼苗

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　　因为 f 在点 x 的 n 阶导数定义为
　　　　f(n)(x) = lim(h→0)[f(n-1)(x+h) - f(n-1)(x)]/h,
当然需要在x的某一邻域内一定具有 n-1 阶的导数.

1年前 追问

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xssm 举报

某一邻域如何理解？为何不是说在x处必存在n-1阶导数

举报 黄岑听雨

　　f 除了在点 x 处必存在 n-1 阶导数的，在点 x 的附近（某邻域内）也一定具有 n-1 阶的导数，才能计算 n 阶导数 　　 f(n)(x) = lim(h→0)[f(n-1)(x+h) - f(n-1)(x)]/h。

xssm 举报

…说了等于没说，我可以这样理解吗，就是求导的条件是在x处连续，因为连续必定存在fn-1在x某一邻域内全部可导

举报 黄岑听雨

“ 连续必定存在fn-1在x某一邻域内全部可导”，错！

xssm 举报

不是说在某一邻域内具有一切低阶导数吗

举报 黄岑听雨

　　你说的是 “ 求导的条件是在x处连续，因为连续必定存在fn-1在x某一邻域内全部可导”，这句话是错的，连续怎么能得到 “ 存在fn-1在x某一邻域内全部可导”？

xssm 举报

恩，是错的，刚想起来连续不一定可导…不过即使是某个特殊函数（比如分段函数）假设x离折点无限近总归存在在他附近的一段是可导的。这样对吗

举报 黄岑听雨

　　说 “在某一邻域内具有一切低阶导数”，可按我说的方法往下递推。

xssm 举报

…我只是想弄清某一邻域指什么，对不起，我比较笨…是不是可以按我说的理解？

举报 黄岑听雨

要计算极限 　　 f(n)(x) = lim(h→0)[f(n-1)(x+h) - f(n-1)(x)]/h， 需要 f 的 n-1 阶的导数在 x 的附近有定义，这个 “在 x 的附近” 可看成 “x 的某一邻域”。
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