如图所示，中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率为213的双曲线C经过点P （6，6），动直线l经过点（0

解题思路：（1）由双曲线的离心率为

21

3

知，

c

a

＝

21

3

，根据双曲线C经过点P（6，6），知P点坐标满足双曲线方程，代入，又得到一个含a，b的等式，再根据a，b，c的关系式，可解出a，b，求出双曲线C的标准方程．
（2）先假设存在实数λ使

EQ

=λ

A2P

，设出M，N，点的坐标，再用M，N点坐标表示Q点坐标，设直线l的方程，把直线l的方程代入（1）中所求双曲线方程，求x₁+x₂，x₁x₂，根据

EQ

=λ

A2P

，可得关于k的方程，解方程，若能求出k值，则存在，若不能求出，则不存在．

（1）设双曲线为：
x2
a2−
y2
b2＝1（a＞0，b＞0），
由[c/a]=

21
3得：b²=[4/3]a²，∵[36
a2−
3×36
4a2＝1．∴a²=9，b²=12．
∴所求方程为
x2/9−
y2
12＝1．
（2）设M（x₁，y₁ ），N（x₂，y₂ ），Q（x₀，y₀ ），l：y=kx+1．
由

y＝kx+1]得：（4-3k²）x²-6kx-39=0．∴

4−3k2≠0
△＞0得：
-

13
3＜k＜

13
3，且k≠±
2
3
3．
又x₁+x₂=[6k
4−3k2，x₀=
x1+x2/2]=[3k
4−3k2，y₀=kx₀+1=
4
4−3k2
∴Q（
3k
4−3k2，
4
4−3k2）．∴
/EQ]=（[3k
4−3k2-1，
4
4−3k2），
/A2P]=（3，6）．
而

EQ＝λ

A2P，∴6（[3k
4−3k2-1）-3×
4
4−3k2=0．∴k²+k-2=0，
∴k=1或-2．
而-2∉（-

13/3]，

13
3），∴k=1，

EQ=（2，4），∴3λ=2，λ=[2/3]，
∴λ存在，值为[2/3]，使

EQ＝λ

A2P．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的综合；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题主要考查了双曲线方程的求法，以及向量与圆锥曲线的综合来解存在性问题．