xiangxuan1 幼苗
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(Ⅰ)当k=1时,y=f(x)+g(x)=lgx+lg(x+1)=lg[x(x+1)](其中x>0)
∵y=x(x+1)在(0,+∞)单调递增,且值域为(0,+∞),
∴y=f(x)+g(x)的单调递增区间为(0,+∞),不存在单调递减区间.
(Ⅱ)由f(x)=2g(x),即lgkx=2lg(x+1).该方程可化为不等式组
kx>0
x+1>0
kx=(x+1)2,
①若k>0时,则x>0,原问题即为:方程kx=(x+1)2在(0,+∞)上有且仅有一个根,
即x2+(2-k)x+1=0在(0,+∞)上有且仅有一个根,
由x1•x2=1>0知:△=0.
解得k=4;
②若k<0时,则-1<x<0,原问题即为:方程kx=(x+1)2在(-1,0)上有且仅有一个根,
即x2+(2-k)x+1=0在(-1,0)上有且仅有一个根,
记h(x)=x2+(2-k)x+1,
由f(0)=1>0知:f(-1)<0,
解得k<0.
综上可得k<0或k=4.
∴实数k的取值集合为{k|k<0或k=4}.
点评:
本题考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考查的是复合函数单调性、函数的定义域、一元二次函数的图象和性质,还考查了分类讨论的数学思想.本题有一定的综合性,对学生能力要求较高,属于中档题.
1年前
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