（2012•湘潭三模）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是[1/2]

（2012•湘潭三模）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是[1/2]，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为[1/3，

2]；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为[3/5

，

5]，记第n次按下按钮后出现红球的概率为P_n．
（1）求P₂的值；
（2）当n∈N^*，n≥2时，
①求用P_n-1表示P_n的表达式；
②求P_n关于n的表达式．

吹破红尘 1年前已收到1个回答举报

691120yoyo 花朵

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解题思路：（1）先求出第一次，第二次均出现红球，则概率为：[1/2

3]，第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：[1/2

5]，相加即得所求．
（2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：P_n-1，n∈N，n≥2，可得出现绿球的概率为：1-P_n-1，则由题意可得P_n=[1/3

P n−1+

5] （1-P_n-1 ）化简求得结果．
②设 P_n+x=-[4/15]（P_n-1+x），即 P_n=-[4/15] P_n-1-[19/15

x．令-

5]，解得 x=[−9/19]，故P_n-[9/19]=-[4/15] （P_n-1-[9/19]），故{ P_n-[9/19] }是等比数列，首项等于P1−

=[1/38]，公比等于-[4/15]，由此求得P_n关于n的表达式．

（1）P₂是“第二次按下按钮后出现红球”．
若第一次，第二次均出现红球，则概率为：[1/2×
1
3]=[1/6]，
第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：[1/2×
3
5]=[3/10]，
故所求概率为：P₂=[1/6]+[3/10]=[7/15]．
（2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：P_n-1，n∈N，n≥2，则出现绿球的概率为：1-P_n-1．
若第n-1次，第n次均出现红球，其概率为：Pn-1×
1
3，
若第n-1次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为：（1-P_n-1）[3/5]，
∴P_n=[1/3P n-1+
3
5] （1-P_n-1 ）=[3/5]-[4/15]P_n-1，即P_n=[3/5]-[4/15]P_n-1，n∈N，n≥2．
②设 P_n+x=-[4/15]（P_n-1+x），即 P_n=-[4/15] P_n-1-[19/15x．
令-
19
15x=
3
5]，解得 x=[-9/19]，∴P_n-[9/19]=-[4/15] （P_n-1-[9/19]），
故{ P_n-[9/19] }是等比数列，首项等于P1-

点评：
本题考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．

考点点评：本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率加法公式的应用，等比关系的确定，等比数列的通项公式，属于中档题．

1年前

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