已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b为常数且a≠0）在x=1处取得极值．

解题思路：（1）先求出函数导函数，根据x=1，x＝

1

2

是f（x）的一个极值点f′（1）=0，f′（[1/2]）=0可构造关于a，b的方程，从而可求出a，b的值；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．

（1）∵f（x）=lnx+ax²+bx，
∴f′(x)＝
1
x+2ax+b，
∵函数f（x）=lnx+ax²+bx在x=1，x＝
1
2处取得极值f'（1）=1+2a+b=0，f/(
1
2)＝2+a+b＝0，
∴a=1，b=-3，
（2）因为f′(x)＝
2ax2−2(a+1)x+1
x＝
(2ax−1)(x−1)
x，
令f'（x）=0，x1＝1，x2＝
1
2a，
因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x2＝
1
2a≠x1＝1，
[1/2a＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，
所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）=1，
解得a=-2，
a＞0，x2＝
1
2a＞0，
当
1
2a＜1时，f（x）在(0，
1
2a)上单调递增，(
1
2a，1)上单调递减，（1，e）上单调递增，
所以最大值1可能在x＝
1
2a]或x=e处取得，
而f(
1
2a)＝ln
1
2a+a(
1
2a)2−(2a+1)
1
2a＝ln
1
2a−
1
4a−1＜0，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a＝
1
e−2，
当1≤
1
2a＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，(1，
1
2a)上单调递减，(
1
2a，e)上单调递增，
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得，
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a＝
1
e−2，与1＜x2＝
1
2a＜e矛盾，
当x2＝

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．