如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的下底边OA在x轴的负半轴上，CB ∥ OA，点B的坐标为（- 10 3 ，4
如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的下底边OA在x轴的负半轴上，CB ∥ OA，点B的坐标为（-
（1）求直线AB的解析式； （2）点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接PA，设点P的运动时间为t秒．设△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，以PA为底△PAB是等腰三角形？  |
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（1）∵B的坐标为（-
10
3 ，4），OA=
3
2 CB，
∴OA=
3
2 ×
10
3 =5，
∴A（-5，0），
设AB的解析式为y=kx+b，
把A（-5，0），B（-
10
3 ，4）分别代入解析式y=kx+b得，
-5k+b=0
-
10
3 k+b=4 ，
解得
k=
12
5
b=12 ，
∴一次函数解析式为y=
12
5 x+12；
（2）当0≤t＜
10
3 时，如图1，
∵BP=BC-t=
10
3 -t，
△PAB的高为4，
∴S=
1
2 ×（
10
3 -t）×4=-2t+
20
3 ，（0≤t＜
10
3 ）．
当t≥
10
3 时，如图2，
∵BP=t-
10
3 ，△PAB的高为4，
∴S=
1
2 （t-
10
3 ）×4=2t-
20
3 ，（t≥
10
3 ）．
（3）当0≤t＜
10
3 时，如图3，作BD⊥x轴．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5-
10
3 =
5
3 ，BD=4，
∴AB=
(
5
3 ) 2 + 4 2 =
13
3 ；
当AB=BP时，
13
3 =
10
3 -t，
解得，t=-1＜0，无意义．
当t≥
10
3 时，如图4，设P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t-
10
3 ） 2 =（
13
3 ） 2 ，
解得t 1 =
10+
69
3 ，t 2 =
10-
69
3 （舍去）．
故存在以PA为底△PAB是等腰三角形，此时t=
10+
69
3 ．
10
3 ，4），OA=
3
2 CB，
∴OA=
3
2 ×
10
3 =5，
∴A（-5，0），
设AB的解析式为y=kx+b，
把A（-5，0），B（-
10
3 ，4）分别代入解析式y=kx+b得，
-5k+b=0
-
10
3 k+b=4 ，
解得
k=
12
5
b=12 ，
∴一次函数解析式为y=
12
5 x+12；
（2）当0≤t＜ 10
3 时，如图1，
∵BP=BC-t=
10
3 -t，
△PAB的高为4，
∴S=
1
2 ×（
10
3 -t）×4=-2t+
20
3 ，（0≤t＜
10
3 ）．
当t≥
10
3 时，如图2，
∵BP=t-
10
3 ，△PAB的高为4，
∴S=
1
2 （t-
10
3 ）×4=2t-
20
3 ，（t≥
10
3 ）．
（3）当0≤t＜ 10
3 时，如图3，作BD⊥x轴．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5-
10
3 =
5
3 ，BD=4，
∴AB=
(
5
3 ) 2 + 4 2 =
13
3 ；
当AB=BP时，
13
3 =
10
3 -t，
解得，t=-1＜0，无意义．
当t≥
10
3 时，如图4，设P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t-
10
3 ） 2 =（
13
3 ） 2 ，
解得t 1 =
10+
69
3 ，t 2 =
10-
69
3 （舍去）．
故存在以PA为底△PAB是等腰三角形，此时t=
10+
69
3 ．
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