已知ABCD是矩形,PD垂直平面ABCD,PD=DC=a,AD=根号2 a,M,N分别是AD,PB中点,求点A到平面MN

如图
PD=DC=a,所以PC=a*根号2
PD⊥面ABCD,所以PD⊥BC,
所以BC⊥面PDC,
所以BC⊥PC,△PBC是等腰直角△；
N为PB中点,PB⊥CN；
△ DCM和△CBD为直角三角形,
DC/DM=根号2=BC/CD；
△ DCM相似于△CBD；
所以∠CDB=∠DMC,
所以∠CDB+∠DCO=90°=∠COD,
所以CO⊥OD；又CO⊥DP,
所以CO⊥面DPB；所以CO⊥PB
所以PB⊥面MNC
作直线AR‖CM交DB于R,
RQ‖ON交PB于Q；知面MNC‖ARQ；
A到平面MNC的距离就是
Q点到平面MNC的距离,
也即是QN的长度；
CN=BN=a； OD=BR=a/根号3； OR= a/根号3； 所以NQ=a/2
所以A到平面MNC的距离a/2

利用等体积法比用向量法更加优越
作AB交CD于O,连接NO,则ON垂直ABCD
求到S△AMC=a²√2/4,N到平面AMC距离H=PD/2=a/2
对△MNC,MN=a√2/2,MC=a√6/2,NC=a
MN²+NC²=MC²
即S△MNC=a²√2/4
A到平面MNC距离为h
等V:h*S△MNC=H*S△MAC
即h=a/2