1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

证明：数学归纳法
n=1,左边=1*2=2 右边=1*(1+1)(1+2)/3=2
假设n=k成立,即
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3
当n=k+1时
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1）+（k+1）（k+2)
=k(k+1)(k+2)/3+（k+1）（k+2)
=(k+1)(k+2)(k/3+1)
=(k+1)(k+2)(k+3)/3
所以命题成立.
故1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3