已知函数f（x）=x2+alnx（a∈R）

（1）∵f（x）=x²+alnx，（x＞0），∴f′(x)＝2x+
a
x，
∵函数f（x）在x=1处的切线垂直y轴，
∴f'（1）=2+a=0，解得a=-2．
（2）函数f（x）在（1，+∞）为增函数，
∴当x∈（1，+∞）时，f′(x)＝2x+
a
x≥0恒成立，
分离参数得：a≥-2x²，从而有：a≥-2．
（3）g（x）=f（x）-（a+2）x=x²-（a+2）x+alnx，
g′(x)＝2x−(a+2)+
a
x＝
2x2−(a+2)x+a
x＝
(x−1)(2x−a)
x．
令g′(x)＝0⇒x1＝1，x2＝
a
2，
由于函数g（x）的定义域为（0，+∞），所以得到以下讨论：
（1）当[a/2≤0，即a≤0时，函数g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增；
（2）当0＜
a
2＜1，即0＜a＜2时，函数g（x）在(0，
a
2)上递增，
在(
a
2，1)上递减，在（1，+∞）上递增；
（3）当
a
2＝1，即a=2时，函数g（x）在（0，+∞）上递增；
（4）当
a
2＞1，即a＞2时，函数g（x）在（0，1）上递增，在(1，
a
2)上递减，在(
a
2，+∞)上递增．

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值分类讨论的思想方法、分离参数法等基础知识与基本技能，属于难题．

1年前

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