已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，Sn2-Sn-12=an3（n≥2）．

（Ⅰ）由已知，当n≥2时，(Sn+Sn−1)(Sn−Sn−1)＝
a3n，即(Sn+Sn−1)an＝
a3n，
∴Sn+Sn−1＝
a2n，Sn+1+Sn＝
a2n+1，两式相减得an+1+an＝
a2n+1−
a2n，于是a_n+1-a_n=1（n≥2）；
又由a₁=1，
S22−
S21＝
a32，可得a₂=2，所以a₂-a₁=1；
因此，数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式为a_n=n．…6分
（Ⅱ）数列{t_m}中，a_k（含a_k项）前的所有项之和为(1+2+…+k)+[1+2+…+(k−1)]×2＝
k(k+1)
2+k(k−1)=
3k2−k
2，
当k=36时，其和为
3×362−36
2＝1926＜2014；当k=37时，其和为
3×372−37
2＝2035＞2014；
又因为2014-1926=88＞36×2=72，故恰好在k=37时开始满足T_m＞2014．
∴m_min=37+（1+2+…+36）=703． …12分．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列的证明和通项公式的求法，考查实数取值范围的求法．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．