如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC的中点．

（1）∵ABCD是正方形，
∴CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴CD⊥PD
在△PCD中，M、N分别为PD、PC的中点，则MN ∥ CD，
∴MN⊥PD
∵在△PAD中，PA=AD=2，M为PD的点，
∴AM⊥PD，
∵AM∩MN=M，AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN
∴PD⊥平面AMN
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，
∴CD⊥平面PAD．
∵MN ∥ CD，
∴MN⊥平面PAD
又∵AM⊂平面PAD
∴MN⊥AM，即∠AMN=90°，
∵在Rt△PAD中，PA=AD=2，M为PD的中点，
∴AM=PM=
2 ．
又∵ MN=
1
2 CD=1 ，
∴ S △AMN =
1
2 AM•MN=

2
2 ．
∵PM⊥平面AMN，
∴PM为三棱锥P-AMN的高，
∴ V 三棱锥P-AMN =
1
3 S △AMN •PM=
1
3 ．
（3）作MH⊥AN于H，连接PH，
∵PM⊥平面AMN，
∴PH⊥AN，
∴∠PHM为二面角P-AN-M的平面角
∵PM⊥平面AMN，
∴PM⊥MH．
在Rt△AMN中， MH=
AM•MN
AN =

2

3 ，
∴在Rt△PMH中， tan∠PHM=
PM
MH =

2


2

3 =
3 ，
∴∠PHM=60°则二面角P-AN-M的大小为60°．

1年前