设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b，将区间[a，b]任意划
设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b，将区间[a，b]任意划分成n个小区间，若存在常数M，使
f（xi）-f（xi-1）|≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
（1）判断函数f（x）=x+cosx在[-π，π]上是否为有界变差函数，并说明理由；
（2）定义在[a，b]上的单调函数f（x）是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
| n |
 |
| i=1 |
（1）判断函数f（x）=x+cosx在[-π，π]上是否为有界变差函数，并说明理由；
（2）定义在[a，b]上的单调函数f（x）是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
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解题思路：（1）求导可发现f（x）在[-π，π]上是增函数，利用函数在[-π，π]上是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，让其满足有界变差函数的定义；
（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义．
（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差的定义；
（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义．
（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差的定义；
（1）可得f′（x）=1-sinx≥0，x∈[-π，π]，
所以f（x）=x+cosx为区间[-π，π]上的单调增函数，
故当xi-1＜xi时，总有f（xi-1）＜f（xi），
此时，
n
i=1f（xi）-f（xi-1）|=
n
i=1f（xi）-f（xi-1）]=f（xn）-f（x0）=f（π）-f（-π）=2π．
所以函数f（x）=x+cosx在[-π，π]上为有界变差函数；…（5分）
（2）因为函数f（x）为区间[-π，π]上的单调函数，
所以当xi-1＜xi时，总有f（xi-1）＜f（xi）（或f（xi-1）＞f（xi）），…（7分）
故
n
i=1f（xi）-f（xi-1）|=|
n
i=1f（xi）-f（xi-1）]|=|f（xn）-f（x0）|=|f（b）-f（a）|．
故存在常数M=|f（b）-f（a）|，使得
n
i=1f（xi）-f（xi-1）|≤M恒成立，
所以定义在[a，b]上的单调函数f（x）为有界变差函数；…（10分）
（3）因为存在常数k，使得对于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|．
所以
n
i=1f（xi）-f（xi-1）|≤
n
i=1|xi-xi-1|=k（b-a）．…（14分）
故存在常数M=k（b-a），使得
n
i=1f（xi）-f（xi-1）|≤M恒成立，
所以f（x）为[a，b]上的有界变差函数．…（16分）
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；导数的运算．
考点点评： 本题以新定义函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，有一定的难度，判断一个函数是否是有界变差函数，关键是求出函数差的连和，找出M．
1年前
8
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