如图,AB是半圆的直径,点P,C为圆O上两点,且∠PBA=22.5°,∠BAC=45°,PB,CA交于点E,则PE:BE

延长AP、BC交于点Q；从E作EM⊥BQ于M,作EN⊥AB于N；连接BC
AB是直径,所以∠APB=∠ACB=90
∠BAC=45,所以∠CBA=45,△ABC是等腰直角三角形,BC：AC：AB=1：1：√2
∠PBA=22.5,因此PB平分∠CBA
EM=EN
A、E、C在同一直线上,所以S△BCE：S△ABE=CE：AE
S△BCE=1/2×BC×EM,S△ABE=1/2×AB×EN
所以S△BCE：S△ABE=BC：AB
因此CE：AE=BC：AB=1：√2,CE：AC=1：（1+√2）=√2-1
CE：BC=√2-1
∠APE=∠BCE=90,∠AEP=∠BEC
所以△APE∽△BCE,PE：AP=CE：BC=√2-1,且∠QAC=∠EBC
∠QCA=∠ECB=90
AC=BC
所以△ACQ≌△BCE,AQ=BE
BP为△ABQ中AQ边上的高,且为∠ABQ角平分线,所以△ABQ为等腰三角形
P为AQ中点,AP=AQ/2=BE/2
所以PE：BE=PE：2AP=（√2-1）/2

忘了了