在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，E为CD中点．

（1）证明：在长方体中，B₁A₁⊥平面ADD₁A₁，
∴B₁A₁⊥AD₁ …（1分）
在矩形ADD₁A₁中，∵AD=AA₁=2
∴矩形ADD₁A₁为正方形
∴A₁D⊥AD₁ …（3分）
又B₁A₁∥CD，∴AD₁⊥平面CDA₁B₁
∵E为CD中点
∴B₁E⊆平面CDA₁B₁
∴AD₁⊥B₁E…（6分）
（2）存在AA₁中点P，AP=1时得DP∥平面B₁AE…（7分）
取B₁A中点F，连结PF、EF
在△AA₁B₁中，PF平行且等于[1/2]A₁B₁…（9分）
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁平行且等于CD，∵E为CD中点，
∴PF平行且等于DE
∴四边形PFED为平行四边形
∴DP∥EF
又EF⊆平面B₁AE，DP⊄平面B₁AE，
∴DP∥平面B₁AE…（12分）

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查线面垂直，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面垂直，线面平行的判定方法是关键．