1、AB是椭圆x^2/25+y^2/9=1的长轴,若把线段AB五等分,过每个分点作AB的垂线,分别与椭圆的上半部分相交于
1、AB是椭圆x^2/25+y^2/9=1的长轴,若把线段AB五等分,过每个分点作AB的垂线,分别与椭圆的上半部分相交于CDEG四点,F是椭圆的左焦点,则|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是?2、设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的半焦距为c,直线L过A(a,0),B(0,b)两点,若原点0到L的距离为根号3c／4,则双曲线的离心率为?
赞 罗伯特卡帕1983 幼苗
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1、由题意,设椭圆的另一个焦点为F1,则：|CF| + |CF1| = 2a = 2*5 = 10
|DF| + |DF1| = 2a = 2*5 = 10
又由于F,F1关于x轴对称,C,G关于x轴对称,D,E关于x轴对称
=> |EF| = |DF1| ,|FG| = |CF1|
=> |FC|+|FD|+|FE|+|FG| = |CF| + |CF1| + |DF| + |DF1| = 20
2、L的方程为：y = -(b/a)*(x-a) => ay+bx-ab=0
由点到直线的距离公式：|0+0-ab|/(√a^2+b^2) = √3 *c/4
c^2 = a^2 + b^2
=> a^2b^2 = (a^2+b^2)*9*c^2/16 = c^4 *3/16
又：e=c/a => c^2 = a^2*e^2
=> a^2*(c^2-a^2) = a^4*e^4*3/16
=> c^2-a^2 = a^2*e^4*3/16
=> a^2*e^2-a^2 = a^2*e^4*3/16
=> 16e^2 - 16 = 3e^4
=> e^2 = 4 或 e^2 = 4/3
=> e=2 或 e=2/√3
|DF| + |DF1| = 2a = 2*5 = 10
又由于F,F1关于x轴对称,C,G关于x轴对称,D,E关于x轴对称
=> |EF| = |DF1| ,|FG| = |CF1|
=> |FC|+|FD|+|FE|+|FG| = |CF| + |CF1| + |DF| + |DF1| = 20
2、L的方程为：y = -(b/a)*(x-a) => ay+bx-ab=0
由点到直线的距离公式：|0+0-ab|/(√a^2+b^2) = √3 *c/4
c^2 = a^2 + b^2
=> a^2b^2 = (a^2+b^2)*9*c^2/16 = c^4 *3/16
又：e=c/a => c^2 = a^2*e^2
=> a^2*(c^2-a^2) = a^4*e^4*3/16
=> c^2-a^2 = a^2*e^4*3/16
=> a^2*e^2-a^2 = a^2*e^4*3/16
=> 16e^2 - 16 = 3e^4
=> e^2 = 4 或 e^2 = 4/3
=> e=2 或 e=2/√3
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