（2014•蒙城县模拟）已知数列{an}，{bn}的首项都为1，且an+1=2an+1，bn+1=log2（an+1）+
（2014•蒙城县模拟）已知数列{an}，{bn}的首项都为1，且an+1=2an+1，bn+1=log2（an+1）+bn．
（1）证明：{an+1}是等比数列；
（2）设cn=（-1）n（2013-
）•（an+1），是否存在正整数n0≤2014，使得不等式c0≤cn0对任意的n∈N*且n≤2014恒成立？若存在，求出n0；若不存在，请说明理由．
（1）证明：{an+1}是等比数列；
（2）设cn=（-1）n（2013-
| 2bn−2 |
| n |
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（1）证明：∵an+1＝2
a n+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又∵a1+1=2，
∴{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知an+1＝2n，
∴bn+1=bn+n，∴bn=bn-1+n-1，（n≥2），
∴bn=b1+（n-1）+（n-2）+…+1，n≥2，
又∵b1=1，∴bn＝
n(n−1)
2+1，
∴cn=（-1）n•[2013-
n(n−1)
n]•2n
=（2014-n）•（-2）n．
①若n≤2014，且n为正奇数时，cn＜0；
②若n≤2014，且n为正偶数时，cn≥0．
令cn-cn-2=2n（2014-n）-2n-2（2016-n）＞0，
∴2n-2（6040-3n）＞0，
解得n＜[6040/3]，
又∵n为正偶数，∴{cn}max=c2012．
综上所述，n0存在，且n0=2012．
a n+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又∵a1+1=2，
∴{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知an+1＝2n，
∴bn+1=bn+n，∴bn=bn-1+n-1，（n≥2），
∴bn=b1+（n-1）+（n-2）+…+1，n≥2，
又∵b1=1，∴bn＝
n(n−1)
2+1，
∴cn=（-1）n•[2013-
n(n−1)
n]•2n
=（2014-n）•（-2）n．
①若n≤2014，且n为正奇数时，cn＜0；
②若n≤2014，且n为正偶数时，cn≥0．
令cn-cn-2=2n（2014-n）-2n-2（2016-n）＞0，
∴2n-2（6040-3n）＞0，
解得n＜[6040/3]，
又∵n为正偶数，∴{cn}max=c2012．
综上所述，n0存在，且n0=2012．
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