(本题满分16分)设函数y=f(x)对任意实数x，都有f(x)=2f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)= x 2

(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)= (x-1)，x∈[n,n+1]，则(x-n)∈[0,1]
→f(x-n)= (x-n) ² (1+n-x). f(x)= f(x-1)= f(x-2)=…= f(x-n)= (x-n) ² (1+n-x). (n=0也适用). ………………4分
(Ⅱ)f (x)= ，由f (x)=0得x=n或x=n+

x
n
(n,n+ )
n+
(n+ ,n+1)
n+1

f (x)

＋
0
－
＋


0
↗
极大
↘
0
f(x)的极大值为f(x)的最大值， ，
又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0，∴|f(x)|=f(x)≤ (x∈[n,n+1]).…8分
(Ⅲ)y=f(x)，x∈[0,+∞ 即为y=f(x)，x∈[n,n+1]，f (x)="-1."
本题转化为方程f (x)=-1在[n,n+1]上有解问题
即方程 在[n,n+1]内是否有解. ……11分
令g(x)= ，
对轴称x=n + ∈[n,n+1]，