（2009•南开区一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=[1/2x2+a（a为常数），若直线l与y=f（x），y=g

解题思路：（Ⅰ）先根据l与y=f（x）图象的切点的横坐标为1，求出切点坐标，再根据函数在切点处的切线斜率是该点处的导数，求出切线斜率，利用点斜式写出切线方程．根据直线l与y=g（x）的图象也相切，联立方程，方程组有一解，就可求出a的值．
（Ⅱ）化简h（x）=f（x+1）-g'（x），求导，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．
（Ⅲ）把方程f（x²+1）-g（x）=k左边看做一个函数，右边看做一个常函数，要求方程f（x²+1）-g（x）=k的实数解的个数，只需看两个函数图象有几个交点即可．利用导数求出左边函数的极大值与极小值，再按k讨论两个函数的图象交点即可．

解（I）f′(x)|x＝1＝
1
x|x＝1＝1，
∴k₁=1，切点为（1，f（1））=（1，0）
∴l的方程为y=x-1
∵l与g（x）相切，
∴由

y＝x−1
y＝
1
2x2+a得[1/2x2+a＝x−1，
又△=0，∴a＝−
1
2]…（4分）
（Ⅱ）h(x)＝ln(x+1)−(
1
2x2−
1
2)′＝ln(x+1)−x(x＞−1)
∴h′(x)＝
1
x+1−1
令h'（x）＞0，∴[1/x+1＞1，∴-1＜x＜0
∴增区间为（-1，0]
（Ⅲ）令y1＝f(x2+1)−g(x)＝ln(x2+1)−
1
2x2+
1
2]，y₂=k
∵y′1＝
2x
1+x2−x＝
−x(x−1)(x+1)
1+x2
∴y_1极大=ln2（当x=±1时取得）∴y1极小＝
1
2（当x=0时取得）
∴k∈（ln2，+∞）时，无解；k=ln2时，有两解；k＝
1
2时，有三解；
1
2＜k＜ln2时，有四解

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导数求函数的切线的斜率，函数的极值的应用．