（高等数学）等价无穷小使用条件是什么?如图所示能否这样换?（本人大一新生,只学了第一章）

估计需要用极限公式解答,例如：lim SINx/x=1等.
历史上极限limx→0(sinx)/(x)=1的第一个证明
作者：蓝雪斋传人 来源：原创 日期：2011-12-5 8:05:51 人气：4041 标签：

历史上极限limx→0(sinx)/(x)=1的第一个证明
极限“limx→0(sinx)/(x)=1”在微积分中被人们称为重要极限,历史上是谁给出了这个极限的证明是一个令人感兴趣的问题.
极限“limx→0(sinx)/(x)=1”的历史和正弦函数sinx的导数有关.1737年英国数学家托马斯.辛普森在他的《流数论》中给出了正弦的求导公式：“任意圆弧和它的正弦值的流数之比等于半径和余弦值之比.”而这一结论的证明是由英国数学家罗杰.柯泰斯(1682-1716)利用微分三角形给出的,罗杰.柯泰斯的这个证明实际已经孕育极限“limx→0(sinx)/(x)=1”的一些基本思想.
此后,数学家相继给出了这个公式的一些证明,如欧拉在1755年出版的《微分学原理》中证明了微分公式
d(sinx)=cosx.
第一个明确给出这个极限解析证明的是法国数学家拉格朗日,他在《解析函数论》的第23节,给出了这个极限.他指出：“当x是一个无穷小的弧,则有sinx=x”,并且给出证明.
拉格朗日对这个结论的证明,是从单位圆中给出的两个明显的不等式
Sinxx
出发,并且注意三角公式
tanx=sinx/cosx=six/(1-sin2x)1/2
则得到了新的不等式six/(1-sin2x)1/2>x和sinx>x/(1+x2) 1/2
当x是很小的正弧时,对一个一般正弦函数sinAx 使用幂级数表达式,得到新的不等式
Ax-A3x3/2.3+ A5x5/2.3.4.5-…… x/(1+x2) 1/2
不等式两边除以x,得到：
A-A3x2/2.3+ A5x4/2.3.4.5-…… 1/(1+x2) 1/2,
利用不等式1/(1+x2) 1/2> 1/(1+x2)和1/(1+x2)> (1-x2)
得到了
A-A3x2/2.3+ A5x4/2.3.4.5-…… (1-x2)
因此对于x来说,A3x2/2.3< 1,而且A-A3x2/2.3+……将收敛,小于A,但是大于A-A3x2/2.3.
如果我们假设x1-x2,和1+ A3x2/2.3
即A=1.
为了得到这个结论,拉格朗日使用了反证法,如果A=1+i ,其中i为很小的正数,则对于x而言,有A3x2/2.3

乘积之中的无穷小可以等价替换，和差中的无穷小不能替换