已知圆x 2 +y 2 -2ax-6ay+10a 2 -4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．

圆C的方程可化为（x-a） ² +（y-3a） ² =4a
∴圆心C（a，3a0，半径r=2
a
（1）若a=2，则C（2，6），r=2
2
∵弦AB过圆心时最长
∴|AB| _max =4
2
（2）若m=2，则圆心C（a，3a）到直线x-y+2=0的距离
d=
|-2a+2|

2 =
2 |a-1| ，r=2
a
直线与圆相交，∴d＜r，∴a ² -4a+1＜0且0＜a≤4，
∴ a∈(2-
3 ，2+
3 )
又|AB|=2
r 2 - d 2 =2
-2 a 2 +8a-2 =2
-2 (a-2) 2 +6 ，
∴当a=2时，|AB| _max =2
6 ，
（3）圆心C（a，3a）到直线x-y+m=0的距离d=
|-2a+m|

2
∵直线L是圆心C的切线，
∴d=r，即
|m-2a|

2 =2
a ， |m-2a|=2
2a
∴m=2a± 2
2a
∵直线L是圆心C下方，
∴m=2a-2
2a
∵a∈（0，4]，
∴当a=时，m _min =-1；当a=4时，m _max =8-4
2 ，
故实数m的取值范围是[-1，8-4
2 ]