已知椭圆G的中心在原点,焦点在x轴上,它的离心率为根号2/2,直线l过点(1,0)且与椭圆G相较于A、B两点,
已知椭圆G的中心在原点,焦点在x轴上,它的离心率为根号2/2,直线l过点(1,0)且与椭圆G相较于A、B两点,
又直线y=(1/2)x经过线段AB的中点,同时椭圆G上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆G的方程.
这道题目我将l设为y=k(x-1),椭圆G为x^2/a^2+y^2/b^2=1,然后根据离心率,将a,b用c代换得到x^2/2c^2+y^2/c^2=1,然后将l的方程和椭圆方程联立,根据韦达定理可以求出AB中点坐标,再代入y=(1/2)x,但却发现k无解.我想知道哪里错了顺便求正确做法.
又直线y=(1/2)x经过线段AB的中点,同时椭圆G上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆G的方程.
这道题目我将l设为y=k(x-1),椭圆G为x^2/a^2+y^2/b^2=1,然后根据离心率,将a,b用c代换得到x^2/2c^2+y^2/c^2=1,然后将l的方程和椭圆方程联立,根据韦达定理可以求出AB中点坐标,再代入y=(1/2)x,但却发现k无解.我想知道哪里错了顺便求正确做法.
赞 sghzr 春芽
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c/a=1/√2,∴a^=2c^,b^=c^,
∴椭圆G:x^/(2c^)+y^/c^=1.①
把l:x=my+1②代入①得m^y^+2my+1+2y^=2c^,
(m^+2)y^+2my+1-2c^=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=-2m/(m^+2),y1y2=(1-2c^)/(m^+2),
AB的中点M：yM=-m/(m^+2),
由②,xM=2/(m^+2),
M在直线y=x/2上,
∴m=-1,
∴l的方程是x+y-1=0.
右焦点F(c,0)关于l的对称点是F'(1,1-c),
F'在椭圆上,
∴1/(2c^)+(1-c)^/c^=1,
∴1+2（1-2c+c^)=2c^,
3=4c,c=3/4,
∴椭圆方程是x^/(9/8)+y^/(9/16)=1.
∴椭圆G:x^/(2c^)+y^/c^=1.①
把l:x=my+1②代入①得m^y^+2my+1+2y^=2c^,
(m^+2)y^+2my+1-2c^=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=-2m/(m^+2),y1y2=(1-2c^)/(m^+2),
AB的中点M：yM=-m/(m^+2),
由②,xM=2/(m^+2),
M在直线y=x/2上,
∴m=-1,
∴l的方程是x+y-1=0.
右焦点F(c,0)关于l的对称点是F'(1,1-c),
F'在椭圆上,
∴1/(2c^)+(1-c)^/c^=1,
∴1+2（1-2c+c^)=2c^,
3=4c,c=3/4,
∴椭圆方程是x^/(9/8)+y^/(9/16)=1.
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