已知ab为正实数,a+b=1,求证2^a+2^b

向往光明的地方 1年前 已收到5个回答 举报
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xiaoyu220 幼苗

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2^a+2^b=2^(a+b)
又因为a+b=1
所以2^a+2^b=2^(a+b)=2^1=2

1年前

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ycz112469 幼苗

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把b=1-a代入：
2^a+2^b
=2^a+2^(1-a)
=2^a+2/(2^a)
这是一个关于a的函数
也可以看成关于2^a的函数，2^a取值范围为(1,2)
这个函数的极值点为2^a=根号2 也就是a=1/2时取到
所以原式的取值范围为(2倍的根号2,3)，也就是小于3

1年前

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回忆的边沿 幼苗

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∵a+b=1
∴2^a×2^b=2^(a+b)=2^1=2
3=2+1=2^1+1=2^(a+b)+1
3-(2^a+2^b)
=2^(a+b)+1-2^a-2^b
=2^a×2^b-2^a-(2^b-1)
=2^a(a^b-1)-(2^b-1)
=(2^a-1)(2^b-1)
∵0∴2^a>2^0=1
2^B>2^0=1
∴2^a-1>0
2^b-1>0
∴3-(2^a+2^b)=(2^a-1)(2^b-1)>0
∴3>2^a+2^b
即2^a+2^b<3

1年前

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青悠子衿 幼苗

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很简单，令函数y=2^x+2^1-x,应用均值不等式：
有2^x+2^1-x>=2*[2^(x+1-x)]^0.5=2*2^0.5,且当x=0.5时成立，用求导可发现这个函数在0.5到1之间递增，所以在1处取得最大值，带入等于3，则证明了

1年前

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狼批羊皮 幼苗

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因为b=1-a,所以2^a+2^b=2^a+2^(1-a)。
令2^a=t,t属于（1，2）。
所以原式=t+2/t,而函数f(t)=t+2/t在（1，√2）上递减，在（√2，2）上递增，所以f(t)最大在两端点取到。
又因为f(1)=3,f(2)=3.且f(t)取不到两个端点的值，所以恒小于3

1年前

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