如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=B

解题思路：（1）根据条件和线面垂直的判定定理得：AC⊥面BB₁C₁C，再由面面垂直的判断定理证明出面BB₁C₁C⊥面AA₁C₁C，再根据条件和线面垂直、面面垂直分别做出二面角A-BB₁-C的平面角、AB₁与面AA₁C₁C所成的线面角，并分别证明和计算求解；
（2）根据正三棱锥的定义和正三角形重心的性质，找到点P，再由条件求出PP₁和点E到平面AA₁C₁C的距离，代入三棱锥的体积公式求出两个棱锥的体积比值．

（Ⅰ）∵面BB₁C₁C⊥面ABC，且面BB₁C₁C∩面ABC=BC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C，
则面BB₁C₁C⊥面AA₁C₁C（3分）
取BB₁中点E，连接CE，AE，
在△CBB₁中，BB₁=CB=2，∠CBB₁=60°
∴△CBB₁是正三角形，∴CE⊥BB₁，
又∵AC⊥面BB₁C₁C，且BB₁⊂面BB₁C₁C，
∴BB₁⊥AE，即∠CEA即为二面角A-BB₁-C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB₁C₁C，
∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=
3，
∴AC=CE•tan30°=1，取C₁C中点D，连接AD，B₁D，
∵△CBB₁是正三角形，且BB₁=CB=2，∴B₁D⊥C₁C，
∵AC⊥面BB₁C₁C，∴AC⊥面B₁D，
∵C₁C∩AC=C，∴B₁D⊥面AA₁C₁C，
即∠B₁DA即AB₁与面AA₁C₁C所成的线面角，
则tan∠DAB₁=
B1D
AD＝

6
2，…（8分）
（Ⅱ）在CE上取点P₁，使
CP1
P1E＝
2
1，
∵CE是△BB₁C的中线，∴P₁是△BB₁C的重心，
在△ECA中，过P₁作P₁P∥CA交AE于P，
∵AC⊥面BB₁C₁C，P₁P∥CA，
∴PP₁⊥面CBB₁，即P点在平面CBB₁上的射影是△BCB₁的中心，该点即为所求，
且
PP1
AC＝
1
3，∴PP₁=[1/3]，
∵B₁D∥CE，且B₁D=CE=
3，
∴
VP−AA1C1C
VP−BB1C1C=

1
3×1×2×
2
3×

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，二面角、线面角的求解构成，以及三棱锥的体积公式的应用，难度很大．