已知函数f(x)＝−alnx+(a+1)x−12x2 (a＞0)

解题思路：（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；
（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．

（1）求导数可得，f′（x）=
(x−a)(−x+1)
x
∵x=1是函数f（x）的极大值点，
∴0＜a＜1
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；
（2）∵f(x)≥−
1
2x2+ax+b恒成立，
∴alnx-x+b≤0恒成立，
令g（x）=alnx-x+b，则g′（x）=[a−x/x]
∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减
∴g（x）_max=g（a）=alna-a+b≤0
∴b≤a-lna，∴ab≤a²-a²lna
令h（x）=x²-x²lnx（x＞0），则h′（x）=x（1-2lnx）
∴h（x）在（0，e
1
2）上单调递增，在（e
1
2，+∞）上单调递减
∴h（x）_max=h（e
1
2）=[e/2]，∴ab≤[e/2]
即ab的最大值为[e/2]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调区间，考查函数的最值，正确构造函数是关键．