06年考研数学一概率大题求解!概率密度f(x)=1/2在(-1,0);f(x)=1/4在(0,2);f(x)=0在其他点

当y≥0时 F(y)=P(Y≤y)=P(X²≤y)=P(-√y≤X≤√y)=∫[-√y，√y] f(x) dx (1)当0≤y<1时，（注意此时y>-1） F(y)=∫[-√y，√y] f(x) dx=∫[-√y，0] f(x) dx+∫[0，√y] f(x) dx =∫[-√y，0] 1/2 dx+∫[0，√y] 1/4 dx =(1/2)√y+(1/4)√y =3√y/4 (2)1≤y<4，（注意此时y<-1） F(y)=∫[-√y，√y] f(x) dx=∫[-√y，-1] f(x) dx+∫[-1，0] f(x) dx+∫[0，√y] f(x) dx =∫[-√y，-1] 0 dx+∫[-1，0] 1/2 dx+∫[0，√y] 1/4 dx =0+1/2+(1/4)√y =√y/4+1/2 (2)4≤y<+∞，（注意此时y<-1） F(y)=∫[-√y，√y] f(x) dx=∫[-√y，-1] f(x) dx+∫[-1，0] f(x) dx+∫[0，2] f(x) dx+∫[2，√y] f(x) dx =∫[-√y，-1] 0 dx+∫[-1，0] 1/2 dx+∫[0，2] 1/4 dx+∫[2，√y] 0 dx =1/2+1/2 =1 综上： F(y)=0 y<0 3√y/4 0≤y<1 √y/4+1/2 1≤y<4 1 y≥4

分区间讨论，以及定积分的区间设定都是因为在不同的区间内，f(x)的表达式不同，其实这里与√y关系不大的，此处可将√y当作一个常数看待。

这个肯定是有关系的。本题的重点是看[-√y，√y]这个区间与(-∞，-1)，(-1，0)，(0，2)，(2，+∞)这四个区间的公共部分是哪些。随着y的不同，它们的公共部分也是有差别的。分区间的重点在这里。