已知函数f（x）=x-1ex的定义域是（0，+∞）．

解题思路：（1）先求导函数，根据函数的定义域，可知当x∈（0，1）时，f（x）在（0，1]上递减；当x∈（1，+∞）时，f（x）在[1，+∞）上递增．从而可确定函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）利用分离参数法，问题可转化为∀x＞0，λ＜

ex

x

+x+

1

x

恒成立．由于∀x＞0，

ex

x

≥e，当且仅当x=1时取等号，∀x＞0，x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号，从而可知当x=1时，有(

ex

x

+x+

1

x

)min＝e+2，故可求实数λ的取值范围．

（1）f(x)＝
ex
x，∴f′(x)＝
ex(x−1)
x2．
当x∈（0，1）时，∴f（x）在（0，1]上递减；
当x∈（1，+∞）时，∴f（x）在[1，+∞）上递增．
∴当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上递增，f(x)min＝f(m)＝
em
m；
当0＜m＜1时，f（x）在[m，1]上递减，在[1，m+1]上递增，f（x）_min=f（1）=e．
∴f(x)min＝


em
m，m≥1
e，0＜m＜1．
（2）∀x＞0，e^x＞-x²+λx-1恒成立，即λ＜
ex
x+x+
1
x恒成立．
由（1）可知，∀x＞0，
ex
x≥e，当且仅当x=1时取等号，
又∀x＞0，x+
1
x≥2，当且仅当x=1时取等号，
∴当且仅当x=1时，有(
ex
x+x+
1
x)min＝e+2．
∴λ＜e+2．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题以函数为载体，考查利用导数求单调性，考查函数的最值，考查基本不等式的运用，考查恒成立问题的处理．