sdbz002 幼苗
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(I)当m=0时,函数F(x)的图象恒在x轴上方等价于F(x)>0在(1,+∞)上恒成立
由m=0,F(x)>0可得-alnx>-x∵x∈(1,+∞)
则a<
x
lnx
记ϕ(x)=
x
lnx,则F(x)>0在(1,+∞)恒成立
等价于a<ϕ(x)min(x∈(1,+∞))
又ϕ′(x)=
lnx−1
ln2x
∴当x∈(1,e)时;ϕ'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,ϕ'(x)>0
故φ(x)在x=e处取得极小值,
也是最小值,即ϕ(x)min=ϕ(e)=e∴a<e
故a的取值范围是(-∞,e).…(5分)
(II)函数F(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=m,
在[1,3]上恰有两个相异实根.
令h(x)=x−2lnx,则h′(x)=1−
2
x=
x−2
x
当x∈[1,2)时,h'(x)<0,当x∈(2,3]时,h'(x)>0
故在[1,3]上h(x)min=h(2)=2-ln2…(8分)
又h(1)=1,h(3)=3-2ln3∵h(1)>h(3)∴只需h(2)<m≤h(3)
故m的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3].…(9分)
(III)存在a=
1
2,
使得函数f(x)和函数g(x)在公共定义域上具有相同的单调性.…(10分)
因为f(x)和g(x)的公共定义域为(0,+∞)
由g(x)=x2-x+m知,g(x)在(0,+∞)上单调递增区间是(
1
2,+∞),
单调递减区间是(0,
1
2)…(11分)
由f(x)=x2−alnx,f′(x)=2x−
a
x=
2x2−a
x
若a≤0,则f(x)'>0,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;
若a>0,由f(x)'>0可得2x2-a>0,
解得x>
a
2
由f′(x)<0可得0<x<
a
2
故a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(
a
2,+∞),
单调递减区间为(0,
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的值域、研究闭区间上的值域等有关问题,是一道综合题,属于中档题.
1年前
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你能帮帮他们吗
1年前
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(1)计算:([2a/a−1]-[1/a+1])•a2−1a
1年前
1年前