haohuazixun 幼苗
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(1)∵AB=AC,AO是∠BAC的角平分线,
∴AO⊥BC,
∴∠AOC=90°,BO=OC,
∵∠BAC=90°,
∴BO=OA=OC;
(2)S△AOA1=S△BOC1.
证明:过点O作MN⊥BC1于M,交AA1于N,
∵OB=OC1,
∴BM=C1M,∠BOM=∠C1OM,
∵∠AOB=∠A1OC1=90°,
∴∠AON+∠BOM=∠A1ON+∠C1OM=90°,
∴∠AON=∠A1ON,
∵AO=A1O,
∴ON⊥AA1,
∴∠A1NO=90°=∠OMC1,
∵在△OMC1和△A1ON中
∠A1NO=∠C1MO
∠NA1O=∠C1OM
A1O=OC1
∴△A1ON≌△OC1M(AAS),
∴△A1ON和△OC1M的面积相等,
同理可证△AON和△OBM的面积相等,
∴S△AOA1=S△BOC1;
(3)证明:延长NP至E,使PE=NP,连接CE,AN,AE,
∵点P为MC的中点,
∴MP=CP,
∵在△PCE和△PMN中
CP=PM
∠EPC=∠MPN
PE=NP,
∴△PCE≌△PMN(SAS),
∴CE=NM=BN,∠MNP=∠PEC,
∴CE∥MN,
设EC的延长线交BN的延长线于O,
∴∠BNM=∠BOC=90°,
又∵∠BAC=90°,
∴A、B、O、C四点共圆,
∴在四边形ABOC中,∠ACE=∠ABN,
∵在△ABN和△ACE中
AB=AC
∠ABN=∠ACE
BN=CE
∴△ABN≌△ACE(SAS),
∴AN=AE,∠ABN=∠EAC,
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN,
即∠EAN=90°,
∵点P为NE
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;旋转的性质.
考点点评: 本题考查了等腰三角形性质,全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用,注意:直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.
1年前