如图1,已知AO是等腰Rt△ABC的角平分线,∠BAC=90°,AB=AC.

如图1,已知AO是等腰Rt△ABC的角平分线,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)在图1中,∠AOC的度数为______;与线段BO相等的线段为______;
(2)将图1中的△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1,如图2,连接AA1,BC1,试判断S△AOA1与S△BOC1的大小关系?并给出你的证明;
(3)将图1中的△ABO绕点B顺时针旋转得到△MBN,如图3,点P为MC的中点,连接PA、PN,求证:PA=PN.
icyben 1年前 已收到1个回答 举报

haohuazixun 幼苗

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解题思路:(1)根据等腰三角形性质得出AO⊥BC,AO平分BC,根据直角三角形斜边上中线性质得出AO=OB=CO;
(2)过点O作MN⊥BC1于M,交AA1于N,证△A1ON≌△OC1M,推出△A1ON和△OC1M的面积相等,同理可证△AON和△OBM的面积相等,即可得出答案;
(3)延长NP至E,使PE=NP,连接CE,AN,AE,证△PCE≌△PMN,推出CE=NM=BN,∠MNP=∠PEC,推出CE∥MN,C,设EC的延长线交BN的延长线于O,得出A、B、O、C四点共圆,推出∠ACE=∠ABN,证△ABN≌△ACE,推出AN=AE,∠ABN=∠EAC,求出∠EAN=90°,根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半推出即可.

(1)∵AB=AC,AO是∠BAC的角平分线,
∴AO⊥BC,
∴∠AOC=90°,BO=OC,
∵∠BAC=90°,
∴BO=OA=OC;

(2)S△AOA1=S△BOC1
证明:过点O作MN⊥BC1于M,交AA1于N,
∵OB=OC1
∴BM=C1M,∠BOM=∠C1OM,
∵∠AOB=∠A1OC1=90°,
∴∠AON+∠BOM=∠A1ON+∠C1OM=90°,
∴∠AON=∠A1ON,
∵AO=A1O,
∴ON⊥AA1
∴∠A1NO=90°=∠OMC1
∵在△OMC1和△A1ON中


∠A1NO=∠C1MO
∠NA1O=∠C1OM
A1O=OC1
∴△A1ON≌△OC1M(AAS),
∴△A1ON和△OC1M的面积相等,
同理可证△AON和△OBM的面积相等,
∴S△AOA1=S△BOC1

(3)证明:延长NP至E,使PE=NP,连接CE,AN,AE,
∵点P为MC的中点,
∴MP=CP,
∵在△PCE和△PMN中


CP=PM
∠EPC=∠MPN
PE=NP,
∴△PCE≌△PMN(SAS),
∴CE=NM=BN,∠MNP=∠PEC,
∴CE∥MN,
设EC的延长线交BN的延长线于O,
∴∠BNM=∠BOC=90°,
又∵∠BAC=90°,
∴A、B、O、C四点共圆,
∴在四边形ABOC中,∠ACE=∠ABN,
∵在△ABN和△ACE中


AB=AC
∠ABN=∠ACE
BN=CE
∴△ABN≌△ACE(SAS),
∴AN=AE,∠ABN=∠EAC,
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN,
即∠EAN=90°,
∵点P为NE

点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;旋转的性质.

考点点评: 本题考查了等腰三角形性质,全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用,注意:直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.

1年前

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