已知常数a＞1，变数x、y有关系：3logxa+logax-logxy=3

已知常数a＞1，变数x、y有关系：3logxa+logax-logxy=3
（1）若x=at（t≠0），试以a、t表示y．
（2）t∈[1，+∞）时，y有最小值8，求此时a和x的值．
8500816 1年前 已收到1个回答 举报
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天地合一023 幼苗

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解题思路：（1）、利用对数的换底公式可知：x=at（t≠0），由3logxa+logax-logxy=3得[3/t+t−
1
t
loga y＝3，再由指数和对数的转化公式进行合理转化，把对数方程转化为指数函数；
（2）、指数函数的性质可知：当t∈[1，+∞）时，t2-3t+3=(t−
3
2
)2+
3
4]有最小值[3/4]，此时t=[3/2]，且y有最小值a
3
4
=8，据此能求出此时a和x的值．

（1）．∵x=at（t≠0），∴由3logxa+logax-logxy=3得[3/t+t−
1
tloga y＝3，∴logay=t2-3t+3，∴y＝at2−3t+3，t≠0．
（2）．当t∈[1，+∞）时，t2-3t+3=(t−
3
2)2+
3
4]有最小值[3/4]，此时t=[3/2]，且y有最小值a
3
4=8，解得a=16．所以t∈[1，+∞）时，y有最小值8，此时a=16和x=16
3
2＝64.

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 适当地借助指数函数的图象数形结合效果会更好．

1年前

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