设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA ，k P

（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y ² =2px（p＞0），
因抛物线过点（2，4），故4 ² =4p，p=4，抛物线方程为y ² =8x．
（2）设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），则 k PA =
y 1 -4
x 1 -2 =
y 1 -4


y 21
8 -2 =
8
y 1 +4 ，
同理 k PB =
8
y 2 +4 ， k AB =
8
y 1 + y 2 ．
∵k _PA +k _PB =0，
∴
8
y 1 +4 +
8
y 2 +4 =0，∴
8
y 1 +4 =
8
- y 2 -4 ，y ₁ +4=-y ₂ -4，y ₁ +y ₂ =-8
∴k _AB =-1．
即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．
（3）∵k _PA k _PB =1，
∴
8
y 1 +4 •
8
y 2 +4 =1，
∴y ₁ y ₂ +4（y ₁ +y ₂ ）-48=0．
直线AB的方程为 y- y 1 =
8
y 1 + y 2 (x-

y 21
8 ) ，即（y ₁ +y ₂ ）y-y ₁ y ₂ =8x．
将y ₁ y ₂ =-4（y ₁ +y ₂ ）+48代入上式得
（y ₁ +y ₂ ）（y+4）=8（x+6），该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．