在△ABC中取一点O,连接AO、BO、CO成三个三角形,即△AOB、△AOC、△BOC,使三个三角形面积之比为3：5：7

是唯一的.
证明：
考察△OAB,△OAC.
∵ S△OAB:S△OAC = 3:5 ,它们拥有共同的底OA
∴ B到AO的距离:C到AO的距离 = 3:5
∴ 用相似三角形易证,设AO的延长线与BC交于D点,则有
BD:DC = 3:5
即D点是BC上的一个定点,O就在直线AD上.
同理可证,设E是AB上满足 AE:EB = 5:7 的点,则O就在直线CE上；
因此两直线AD、CE的交点就是O点,它当然是唯一的.
注：设F点是AC上满足AF:FC=3:7的点,O当然也在BF上,不过这样一来,又得证
明三线共点,反而麻烦了,因此用两条线就可以了.

要找出来o很难，但可以看出三角形内部肯定有一点，外部至少有一点，o不是唯一的

不是

如点O在三角形内部，由燕尾定理可知此点唯一确定
燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的点，AD、BE、CF 交于O点）。S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD； 同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF； S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC...