已知函数f（x）=ax3-3x2+1-[3/a]

解题思路：（1）由已知得 f′（x）=3ax²-6x（a≠0），由此利用导数性质能求出实数a的值．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=[2/a]，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数f（x）的单调性．
（3）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，由此能求出当3≤a≤4时，存在满足要求的点A、B．

（1）∵f（x）=ax³-3x²+1-[3/a]，∴f′（x）=3ax²-6x（a≠0）
∵函数f（x）在x=-1时取到极值，
∴f′（-1）=3a+6=0，解得a=-2，
经检验a=-2时，函数f（x）在x=-1时取到极小值，
∴实数a的值为-2．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=[2/a]，
①当a＜0时，[2/a＜0，由f′（x）＞0，得
2
a＜x＜0，
由f′（x）＜0，得x＜
2
a]或x＞0，
∴函数f（x）的单调增区间为（[2/a]，0），单调减区间为（-∞，[2/a]），（0，+∞）．
②当a＞0时，[2/a＞0，同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，
2
a]），（0，+∞），
单调减区间为（[2/a]，0）．
（3）假设存在满足要求的两点A，B，
即在点A、B处的切线都与y轴垂直，
则k_A=k_B=0，即f′（x）=3ax²-6x=0，解得x=0或x=[2/a]，
∴A（0，1-[3/a]），B（[2/a，−
4
a2+1−
3
a]），
又线段AB与x轴有公共点，∴y_Ay_B≤0，
即（10[3/a]）（-[4
a2+1−
3/a]）≤0，又a＞1，解得3≤a≤4，
所以当3≤a≤4时，存在满足要求的点A、B．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．