二次函数与一次函数、反比例函数的综合题

1、m(x1,2x1) n(-x1,-2x1)
mn=根号[(2x1)^2+(4x1)^2]=2根号5
x1=+-1
过点（1,2）和（-1,-2）
2=k/1
k=2
y=2/x
2、y=ax^2+bx+c经过m,n两点
2=a+b+c
-2=a-b+c
可得：a+c=0,a*c0
所以抛物线与x轴必有两个交点
3、a+c=0,c=-a
y=ax^2+2x-a,A、B的坐标为（（-1+根号1+a^2）/a,0）（（-1-根号1+a^2）/a,0）
C(0,-a)
tan∠cab+tan∠cba=CO/A0+C0/B0=|-a/[（-1+根号1+a^2）/a]|+|-a/[（-1+根号1+a^2）/a]|=3
即2根号（1+a^2）=3
a=根号5/2,或a=-根号5/2

（1）
联立：y=2x
y=k/x
得：
2x=k/x (x≠0)
2x^2=k
x1,2 =±√(k/2)
y1,2 =±2√(k/2)
|MN|=√(2k+8k)=√(10k)=2√5
∴k=2
∴y=2/x
(2)
令f(x)=y=ax^2+bx+c；
根据（...

(1)MN=2√5,则OM=MN/2=√5;设点M的横坐标为m,则纵坐标为2m.

OH²+MH²=OM²,即m²+4m²=5, m=1(即正值),即点M为(1,2).

反比例函数y=k/x过点M(1,2),则2=k/1,k=2.

∴反比例函数解析式为y=2/x.

(2)点M(1,2)关于点O对称的点N为(-1,-2),抛物线y=ax²+bx+c过点M和点N,则:

2=a+b+c;

-2=a-b+c.

得:b=2, c= -a.

则此二次函数为y=ax²+2x-a.

b²-4ac=4-4a*(-a)=4+4a²>0,故抛物线与X轴必有两个交点.

(3)当抛物线开口向上(a>0)时(如图中的红色抛物线),设点A为(X1,0),点B为(X2,0),则:OA=-X1,OB=X2,OC=│-a│=a,X1+X2=-2/a,X1*X2=-1.

tan∠CAB+tan∠CBA=OC/OA+OC/OB=3,即a/(-X1)+a/X2=3, a(X2-X1)=-3X1*X2=6.

a√[(X1+X2)²-4X1*X2]=6,a√(4/a²+4)=6, a=±2√2,a=2√2(取正值).

即抛物线解析式为:y=2√2X²+2X-2√2;

当抛物线开口向下时(如图中绿色抛物线),同理可求得其解析式为y=-2√2X²+2X+2√2.

【注: 实际上,(3)开始所求得的a=±2√2就是两种情况下的a值.】