已知定义在r上的函数f(x)=lg(x+√x^2+).(1)求证:f(-x)=-f(x). (2)求f(x)的反函数f^
已知定义在r上的函数f(x)=lg(x+√x^2+).(1)求证:f(-x)=-f(x). (2)求f(x)的反函数f^-1(x)
赞 丨日林羁鸟 春芽
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解① f(x)=lg[x+√（x^2+1）]
∴f(-x)=lg[-x+√（x^2+1）]
f(-x)=lg｛[-x+√（x^2+1）][x+√（x^2+1）]／[x+√（x^2+1）]｝
f(-x)=lg｛1/[x+√（x^2+1）]｝
=-lg[x+√（x^2+1）]
=-f(x)
②令 y=lg[x+√（x^2+1）]
∴10^y=x+√（x^2+1)
(10^y-x)²=x^2+1
10^2y-2x10^y+x²=x²+1
2x10^y=10^2y-1
x=(10^2y-1)/(2*10^y)
∴f^-1(x)=(10^2x-1)/(2×10^x)
∴f(-x)=lg[-x+√（x^2+1）]
f(-x)=lg｛[-x+√（x^2+1）][x+√（x^2+1）]／[x+√（x^2+1）]｝
f(-x)=lg｛1/[x+√（x^2+1）]｝
=-lg[x+√（x^2+1）]
=-f(x)
②令 y=lg[x+√（x^2+1）]
∴10^y=x+√（x^2+1)
(10^y-x)²=x^2+1
10^2y-2x10^y+x²=x²+1
2x10^y=10^2y-1
x=(10^2y-1)/(2*10^y)
∴f^-1(x)=(10^2x-1)/(2×10^x)
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