函数f(x)=ax+lnx，其中a为实常数．

解题思路：（1）确定函数的定义域，分类讨论，利用导数的正负，即可讨论f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，⇔a≥[-xlnx+x]_max，x∈（0，1]，构造函数求最值即可；
（3）存在，如b=0等．再证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞lnn，(n≥2，n∈N+)及

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)，(n≥2，n∈N+)成立．

（1）定义域为（0，+∞），
①当a≤0时，函数在定义域上单调增函数；
②当a＞0时，f′（x）=-
a
x2+
1/x]，当x＞a时，f′（x）＞0，函数单调递增，增区间为（a，+∞）；当0＜x＜a时，f′（x）＜0，函数单调递减，单调减区间为（0，a）；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，⇔a≥[-xlnx+x]_max，x∈（0，1]，
令g（x）=-xlnx+x，x∈（0，1]，g′(x)=-lnx-x•
1
x+1=-lnx≥0(x∈(0，1])，
∴g（x）在x∈（0，1]上单增，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a≥1，
故a的取值范围 为[1，+∞）．
（3）存在，如b=0等．下面证明：1+
1
2+
1
3+…+
1
n＞lnn，(n≥2，n∈N+)
及[1
23+
2
33+
3
43+…+
n-1
n3＜ln(n+1)，(n≥2，n∈N+)成立．
①先证1+
1/2+
1
3+…+
1
n＞lnn，(n∈N+)，注意lnn=ln
2
1+ln
3
2+…+ln
n
n-1]，
这只要证
1
k-1＞ln
k
k-1=ln(1+
1
k-1)，(k=2，3，…n)（*）即可，
x＞ln（1+x）对x＞0恒成立，取x=
1
k-1(k≥2)即可得上式成立．
让k=2，3，…，n分别代入（*）式再相加即证：1+
1
2+
1
3+…+
1
n-1＞lnn，(n∈N+)，
于是1+
1
2+
1
3+…+
1
n-1+
1
n＞1+
1
2+
1
3+…+
1
n-1＞lnn，(n∈N+)．
②再证

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．