高一必修五数列 大题在数列{An}中 An=（n+1)(10/11)的n次方 n为正整数①求证数列{An}先递增后递减②

(1)解两个方程an+1≤an ,an-1≤an
解得n只有一个一个解,即得证
答案补充：an-1≤an,解得的n,对于1~n,前一项都小于后一项
同理,an+1≤an解得的n,对于n~+无穷,前一项都大于后一项
若两者解得的n相同,则1~n增,n~+无穷减,所以就得证了~
(2)y=(x+1)(10/11)^x
y'=(10/11)^x*[1+(x+1)ln(10/11)]=0
(x+1)ln(10/11)=-1
解得：x=9.5
而a9=10*(10/11)^9=4.24
a10=11*(10/11)^10=3.85
故n=9时,最大项=4.24
分析：An+1/An=[(n+2)(10/11)^n+1]/[(n+1)(10/11)^n]=[(n+2)/(n+1)]*(10/11)=(10n+20)/(11n+11)
当10n+20大于11n+11时,n小于9,An+1大于An,递增
当10n+20等于11n+11时,n等于9,An+1等于An,最大n=9时为（10/11）^8
当10n+20小于11n+11时,n小于9,An+1小于An,递减
所以最大是第九项
遇到这样的题,先看单调性,就可以了
希望能帮到你 O(∩_∩)O~

① A(n+1)/An=(10n+20)/11n
令(10n+20)/11n>1 => n<20
令 (10n+20)/11n<1 => n>20
所以数列{An}先递增后递减
②数列{An}先递增后递减
最大项即为A20=21*(10/11)^20

思路分析： 由数列的后项与其前一项的差判断各项的大小

A(n+1)-An=(n+2）（10/11）^(n+1)-（n+1）(10/11)^(n)=(10/11)^n(10/11n+20/11-n-1)=(10/11)^n*(9/11-1/11n)
当n<9 增 当n>10 减 A9=A10

有上 A9和A10最大