如图所示，一轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物体A连接，物体A又与一跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端相连，绳另一端悬挂
如图所示，一轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物体A连接，物体A又与一跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端相连，绳另一端悬挂着物体B，B的下面又挂着物体C，C距离地面高度的理论值为h，A、B、C均处于静止状态．现剪断B和C之间的绳子，则A和B将做简谐运动．已知物体A质量为3m，B和C质量均为2m，A和B振动的振幅为d．在C落地的同时A处在速度最大的位置，试求：（1）A振动的周期；
（2）物体A振动的最大速度；
（3）振动过程中，绳对物体B的最大拉力和最小拉力．
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解题思路：（1）由Sn+1（Sn+1-2Sn）+（2Sn-Sn-1）Sn-1=1化简可得数列{an2}是首项为1，公差为1的等差数列，求出通项公式开方可得数列{an}的通项公式；（2）根据bn的通项公式得到bn+1的通项，然后相减得bn+1(n+1)2−bnn2＝1n2，移项化简可得bn+1；（3）当n=1时，不等式成立；当n≥2时，列举bn各项化简不等式的左边，然后当k≥2时，利用1k2≥13(1k−1−1k+2)即可得证．
（1）由Sn+1（Sn+1-2Sn）+（2Sn-Sn-1）Sn-1=1
得（Sn+1-Sn）2-（Sn-Sn-1）2=1，即an+12-an2=1（n≥2，n∈N*）
∴数列{an2}是首项为1，公差为1的等差数列
于是
a2n＝n，∴an＝
n(n∈N*)
（2）当n≥2时，∵
bn
n2＝1+
1
22+
1
32++
1
(n−1)2
∴
bn+1
(n+1)2＝1+
1
22+
1
32++
1
(n−1)2+
1
n2．
∴
bn+1
(n+1)2−
bn
n2＝
1
n2∴bn+1＝
(n+1)2(bn+1)
n2(n≥2，n∈N*)
（3）当n=1时，1+
1
b1＝2＞
29
9−
2×2
1×3＝
17
9，不等式成立；
当n≥2时，由（1）得
bn+1
bn+1＝
n2
(n+1)2
∴(1+
1
b1)(1+
1
b2)(1+
1
bn)＝2•
bn+1
(n+1)2＝2(1+
1
22+
1
32++
1
n2)
又当k≥2时，[1
k2≥
1/3(
1
k−1−
1
k+2)
∴
n
k＝1
1
k2≥1+
1
3(1+
1
2+
1
3−
1
n−
1
n+1−
1
n+2)＝
29
18−
3n2+6n+2
3n(n+1)(n+2)]＞
29
18−
3n2+6n+3
3n(n+1)(n+2)＝
29
18−
n+1
n(n+2)
于是当n≥2时，(1+
1
b1)(1+
1
b2)(1+
1
bn)＞
29
9−
2(n+1)
n(n+2)
综上所述，对一切n∈N*，不等式都成立．
点评：
本题考点： 数列的应用．
考点点评： 考查学生灵活运用数列解决实际问题的能力，以及会求等差、等比数列的通项公式及前n项和的公式．会利用数列进行不等式的证明．
1年前
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