如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在BC上，AD⊥C1D，

解题思路：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在BC上，AD⊥C₁D，我们根据直三棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理，易得到AD⊥面BCC₁B₁．
（2）由已知中AD⊥C₁D，AB=AC，点E是B₁C₁的中点，我们易判断四边形A₁ADE为平行四边形，进而得到A₁E∥AD，再由线面平行的判定定理，即可得到A₁E∥平面ADC₁．

证明：（1）∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为三棱柱
∴CC₁⊥平面ABC
又∵AD⊂平面ABC
∴CC₁⊥AD
又∵AD⊥C₁D，C₁D∩CC₁=C₁，
∴AD⊥面BCC₁B₁．
（2）连接DE，
∵AB=AC，
∴D为BC的中点，又由E是B₁C₁的中点，
∴DE∥A₁A且DE=A₁A
∴四边形A₁ADE为平行四边形
∴A₁E∥AD
又∵A₁E⊄平面ADC₁．AD⊂平面ADC₁．
∴A₁E∥平面ADC₁．

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行或垂直的判定定理，及直三棱柱的几何特征是解答本题的关键．